QUE ES LÓGICA MATEMÁTICA
Es la disciplina que estudia métodos de análisis y razonamiento; utilizando el lenguaje de las matemáticas como un lenguaje analítico.
La lógica matemática nos ayuda a establecer criterios de verdad, equivalencias lógicas tales como el silogismo, hacer demostraciones de teoremas que participan en el análisis de argumentos planteados. Suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática nos ayuda a establecer criterios de verdad, equivalencias lógicas tales como el silogismo, hacer demostraciones de teoremas que participan en el análisis de argumentos planteados. Suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
PROPOSICIONES DE LÓGICA MATEMÁTICA
PROPOSICIÓN CONJUNTIVA
A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo conjunción ( \and ), la llamaremos proposición conjuntiva; p \and q, teniendo un valor de verdad verdadero, sólo cuando ambas componentes sean verdaderas, es decir, si al menos una de las componentes es falsa, entonces la proposición p \and q es falsa.
PROPOSICIÓN DISYUNCIÓN
Para indicar que dos proposiciones están conectadas con la letra "o" se utiliza el símbolo \or , llamado conectivo disyuntivo. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo disyunción (\or), la llamaremos proposición disyuntiva p \or q. p \or q tendrá un valor de verdad falso sólo cuando ambas componentes sean falsas, es decir, si al menos una de las componentes es verdadera, entonces p \or q es verdadera.
Sean A y B dos conjuntos, entonces definimos el conjunto A unión B, que anotaremos por A ∪ B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. A ∪ B = { x / x ∈ A \or x ∈ B }
Sean A y B dos conjuntos, entonces definimos el conjunto A unión B, que anotaremos por A ∪ B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. A ∪ B = { x / x ∈ A \or x ∈ B }
IMPLICACIÓN O CONDICIONAL
Un elemento del resultado puede pertenecer a uno solo de los dos conjuntos o a los dos conjuntos dados, pero en este caso dicho elemento se considera una sola vez. Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución de p(x) \or q(x) es P ∪ Q.
Para indicar que dos proposiciones están conectadas, la primera implicando la segunda se utiliza el símbolo \Rightarrow , llamado conectivo condicional, la primera proposición es llamada antecedente o hipótesis y la segunda es consecuente o conclusión. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo condicional, le llamaremos proposición condicional. p \Rightarrow q tendrá un valor de verdad falso solamente cuando el antecedente (p) es verdadero y el consecuente (q) es falso; en los demás casos diremos que p \Rightarrowq es verdadero. Entonces la implicacion resulta de que ambos tienen que ser iguales para que sea verdadero, de lo contrario seria falso.
Para indicar que dos proposiciones están conectadas, la primera implicando la segunda se utiliza el símbolo \Rightarrow , llamado conectivo condicional, la primera proposición es llamada antecedente o hipótesis y la segunda es consecuente o conclusión. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo condicional, le llamaremos proposición condicional. p \Rightarrow q tendrá un valor de verdad falso solamente cuando el antecedente (p) es verdadero y el consecuente (q) es falso; en los demás casos diremos que p \Rightarrowq es verdadero. Entonces la implicacion resulta de que ambos tienen que ser iguales para que sea verdadero, de lo contrario seria falso.
BICONDICIONAL DOBLE IMPLICACIÓN
A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo bicondicional (\Leftrightarrow), la llamaremos proposición bicondicional.
Recordemos que p \Leftrightarrow q significa ( p \Rightarrow q ) \and ( q \Rightarrowp ) Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p \Leftrightarrow q es verdadera.
Y si p y q tienen valor de verdad opuestos, entonces p \Leftrightarrow q es falsa.
La proposición\forall \, x, p(x) \Leftrightarrow q(x) es verdadera si y solo si P ⊂ Q y Q ⊂ P
Recordemos que p \Leftrightarrow q significa ( p \Rightarrow q ) \and ( q \Rightarrowp ) Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p \Leftrightarrow q es verdadera.
Y si p y q tienen valor de verdad opuestos, entonces p \Leftrightarrow q es falsa.
La proposición\forall \, x, p(x) \Leftrightarrow q(x) es verdadera si y solo si P ⊂ Q y Q ⊂ P
OPERACIONES DE LÓGICA MATEMÁTICAS
CONJUNCIÓN: Es una operación que une 2 proposiciones y sera verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas .
DISYUNCIÓN: Las respuestas de la disyunción es falso cuando las dos proposiciones son falsas y las demás verdaderas .
CONDICIONAL: La condicional va hacer falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso
NEGACIÓN: Es la única operación que trabaja con 1 sola proposición o con algún resultado previo
DISYUNCIÓN: Las respuestas de la disyunción es falso cuando las dos proposiciones son falsas y las demás verdaderas .
CONDICIONAL: La condicional va hacer falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso
NEGACIÓN: Es la única operación que trabaja con 1 sola proposición o con algún resultado previo
